ریاضی‌دانان روش نامناسبی برای آویزان کردن تابلو را کشف کردند

کد خبر: ۹۴۰۲۳۱

تاریخ انتشار: ۴۹ : ۱۸ – ۲۹ شهریور ۱۴۰۵

ریاضی‌دانان به بررسی بدترین روش ممکن برای آویزان کردن تابلو پرداخته‌اند. سؤالی ساده در مورد آویزان‌کردن تابلو، سال‌هاست که توجه ریاضی‌دانان را به خود جلب کرده است: آیا می‌توان به گونه‌ای عمل کرد که با برداشتن هر میخ، تابلو سقوط کند؟

به گزارش انتخاب، زومیت: این سؤال از سال ۱۹۹۷ توسط اِی. اسپیواک مطرح شد و به مجموعه‌ای از مسائل ریاضی با عنوان «مسائل آویزان‌کردن تابلو» تبدیل گردید. در نسخه اصلی این مسئله، هدف این است که نخ به گونه‌ای طراحی شود که هر دو میخ برای نگه‌داشتن تابلو ضروری باشند و حذف هر یک از آن‌ها باعث تغییر وضعیت آویزان بودن تابلو شود. با افزایش تعداد میخ‌ها، مسئله پیچیده‌تر می‌شود؛ زیرا نخ باید برای تمام ترکیب‌های ممکن برداشتن میخ‌ها عملکرد صحیحی داشته باشد.

ریاضی‌دانان ثابت کرده‌اند که برای هر مسئله «k از n» می‌توان یک آرایش نخ پیدا کرد، اما یافتن کوتاه‌ترین راه‌حل بسیار دشوار است. در مسئله «۲ از ۴»، پژوهشگران با استفاده از الگوریتم‌های کامپیوتری نشان دادند که حداقل ۱۶ بار پیچاندن نخ برای حل این مسئله ضروری است. فرض کنید می‌خواهید تابلویی را با نخی که به پشت آن بسته شده، روی دو میخ آویزان کنید. ساده‌ترین روش این است که نخ را روی هر دو میخ بیندازید. در این حالت، اگر یکی از میخ‌ها را از دیوار بیرون بکشید، تابلو معمولاً همچنان از میخ دیگر آویزان می‌ماند.

اما ریاضی‌دانان سال‌هاست که نسخه‌ای پیچیده‌تر از همین مسئله ساده را بررسی می‌کنند: آیا می‌توان نخ را به گونه‌ای دور دو میخ پیچید که با برداشتن هر یک از آن‌ها، کل سیستم از هم بپاشد و تابلو بیفتد؟ این سؤال در سال ۱۹۹۷ از سوی اِی. اسپیواک مطرح شد و به خانواده‌ای از مسائل ریاضی تبدیل گردید که امروزه به نام «مسائل آویزان‌کردن تابلو» شناخته می‌شوند. ظاهر این مسئله ساده و سرگرم‌کننده به نظر می‌رسد، اما در پشت آن مجموعه‌ای از ایده‌های جدی در ریاضیات وجود دارد که شامل نظریه گره‌ها، نظریه گروه‌ها، نظریه گراف و منطق بولی است.

مسئله آویزان‌کردن تابلو چیست؟ در ساده‌ترین حالت، دو میخ روی دیوار داریم و یک نخ که به پشت تابلو متصل است. هدف این نیست که تابلو را فقط محکم آویزان کنیم، بلکه باید نخ را به گونه‌ای دور میخ‌ها بیندازیم که هر دو میخ برای نگه‌داشتن تابلو ضروری باشند. به این معنا که اگر میخ اول برداشته شود، تابلو بیفتد و اگر میخ دوم هم به‌تنهایی برداشته شود، تابلو نیز سقوط کند. نکته اصلی این است که نخ نباید صرفاً به دو تکیه‌گاه مستقل متصل باشد. مسیر آن باید طوری طراحی شود که حذف هر میخ، آرایش کل نخ را باز کند.

این مسئله را می‌توان با چند حلقه و پیچ ساده حل کرد، اما با افزایش تعداد میخ‌ها، شرایط به شدت پیچیده‌تر می‌شود. تام ورهوف، دانشمند بازنشسته علوم کامپیوتر، این نوع مسائل را در یک کارگاه آموزشی برای دانش‌آموزان بررسی کرد. شرکت‌کنندگان با نخ و کارابین‌های واقعی آزمایش می‌کردند و هم‌زمان تلاش داشتند مسئله را با زبان ریاضی توصیف کنند. ریاضی‌دانان بعداً نسخه کلی‌تری از مسئله را مطرح کردند که با عنوان «k از n» شناخته می‌شود. در این حالت، n تعداد کل میخ‌ها و k تعداد میخ‌هایی است که باید برداشته شوند تا تابلو سقوط کند. به عنوان مثال، در مسئله «۲ از ۴»، چهار میخ روی دیوار وجود دارد و نخ باید به گونه‌ای پیچیده شود که برداشتن هر دو میخ از میان این چهار میخ باعث سقوط تابلو شود. در عین حال، اگر فقط یک میخ برداشته شود، تابلو باید همچنان آویزان بماند. این شرط موضوع را بسیار دشوار می‌کند، زیرا نخ باید برای تمام ترکیب‌های ممکن رفتار درستی داشته باشد.

در سال ۲۰۱۲، ریاضی‌دانان در مقاله‌ای پیش‌چاپی نشان دادند که برای هر مسئله از نوع «k از n» می‌توان راه‌حلی پیدا کرد. به بیان ساده، از نظر ریاضی امکان طراحی آرایشی از نخ وجود دارد که دقیقاً همان قانونی را اجرا کند که برای افتادن تابلو تعریف کرده‌ایم. اما وجود راه‌حل به این معنا نیست که آن راه‌حل ساده یا کوتاه باشد. برخی از روش‌های شناخته‌شده به تعداد زیادی پیچاندن نخ دور میخ‌ها نیاز دارند و اگر بخواهیم چنین چیزی را در دنیای واقعی اجرا کنیم، نتیجه بیشتر شبیه یک گره بزرگ و درهم‌پیچیده خواهد بود تا روشی منطقی برای نصب تابلو.

این مسئله باعث شد ورهوف و دیگران به سؤال دیگری برسند: کوتاه‌ترین راه‌حل ممکن چیست؟ برای یافتن پاسخ قطعی، او با ینس هویسولت، که آن زمان دانشجوی دکتری بود، همکاری کرد. آن‌ها از برنامه‌های کامپیوتری استفاده کردند تا تمام آرایش‌های کوتاه‌تر ممکن را بررسی کنند. نتیجه این بررسی نشان داد که هیچ راه‌حلی با کمتر از ۱۶ پیچش وجود ندارد. بنابراین، ۱۶ پیچش حداقل مطلق برای حل مسئله «۲ از ۴» است. این بخش از کار اهمیت زیادی دارد، زیرا پیدا کردن یک راه‌حل کوتاه با ثابت کردن اینکه هیچ راه‌حل کوتاه‌تری وجود ندارد، متفاوت است. برای اثبات حداقل بودن، باید نشان داد که تمام حالت‌های ممکن با ۱۵ پیچش یا کمتر شکست می‌خورند؛ کاری که بررسی دستی آن بسیار دشوار است و برنامه کامپیوتری می‌تواند کمک بزرگی باشد.

ورهوف ابتدا برنامه‌ای نوشته بود که می‌توانست این مسئله را در حدود دو ساعت حل کند. هویسولت بعداً برنامه‌ای ساخت که همان کار را در حدود دو ثانیه انجام می‌داد. پاسخ این است که ریاضی‌دانان معمولاً فقط به ظاهر فیزیکی مسئله نگاه نمی‌کنند. برای آن‌ها، میخ‌ها و نخ‌ها نماینده ساختارهای انتزاعی هستند. مسیر نخ می‌تواند به‌صورت یک عبارت ریاضی، یک گراف، مسیری روی یک شکل چندبعدی یا حتی ساختاری منطقی نمایش داده شود. به همین دلیل، این مسئله با چند شاخه مهم ریاضیات ارتباط پیدا می‌کند.

یکی از حوزه‌های مرتبط، نظریه گروه‌ها است. در این شاخه از ریاضیات، پژوهشگران بررسی می‌کنند که چگونه مجموعه‌ای از عملیات مختلف می‌تواند با هم ترکیب شود و چه قوانینی بر این ترکیب‌ها حاکم است. در مسئله آویزان‌کردن تابلو، پیچیدن نخ دور هر میخ را می‌توان به یک عمل خاص تبدیل کرد. ترتیب پیچ‌ها و جهت آن‌ها نیز اهمیت دارد. وقتی یک میخ برداشته می‌شود، بعضی از این عملیات عملاً حذف می‌شوند و سؤال این است که آیا چیزی از آرایش نخ باقی می‌ماند یا کل آن باز می‌شود. همین ویژگی باعث می‌شود مسئله با نظریه گروه‌ها ارتباط پیدا کند.

نظریه گره‌ها نیز به طور طبیعی در این ماجرا وارد می‌شود، زیرا اساس مسئله به نحوه پیچیدن و حلقه‌زدن نخ مربوط می‌شود. در نظریه گره‌ها، ریاضی‌دانان بررسی می‌کنند که حلقه‌ها و رشته‌ها چگونه به هم پیچیده‌اند و تحت چه تغییراتی می‌توان آن‌ها را باز کرد یا به شکل دیگری تبدیل کرد. یکی دیگر از جنبه‌های جالب مسئله این است که می‌توان برای مجموعه بزرگی از قوانین مختلف، یک آرایش مناسب از نخ پیدا کرد. فرض کنید چهار میخ داریم و می‌خواهیم تابلو فقط در شرایط خاصی سقوط کند. مثلاً شاید بخواهیم با برداشتن هر دو میخ سقوط کند، یا فقط زمانی بیفتد که سه میخ مشخص حذف شده باشند. اما هر قانونی ممکن نیست. برای نمونه، نمی‌توان قانونی تعریف کرد که بگوید اگر فقط میخ A برداشته شود، تابلو سقوط کند، اما اگر هم میخ A و هم میخ B را برداریم، تابلو دوباره آویزان بماند. دلیلش ساده است: برداشتن میخ بیشتر نمی‌تواند ناگهان حمایت تازه‌ای برای تابلو ایجاد کند. اگر حذف A برای سقوط کافی بوده، حذف A و B هم باید باعث سقوط شود.

این ویژگی در ریاضیات با مفهوم توابع بولی یکنوا ارتباط دارد. تابع بولی در ساده‌ترین حالت تابعی است که ورودی‌هایش فقط دو حالت دارند؛ مثلاً «بله یا خیر»، «روشن یا خاموش» یا «میخ هست یا میخ نیست». خروجی هم دو حالت دارد؛ مثلاً «تابلو می‌ماند» یا «تابلو می‌افتد». وقتی می‌گوییم یک تابع بولی «یکنوا» است، یعنی اگر حذف تعداد مشخصی از میخ‌ها باعث سقوط شده باشد، حذف میخ‌های بیشتر نمی‌تواند دوباره تابلو را نجات دهد. این همان منطقی است که به‌طور طبیعی در مسئله آویزان‌کردن تابلو وجود دارد. جالب‌تر اینکه توابع بولی یکنوا فقط ابزار بازی با میخ و نخ نیستند و در حوزه‌هایی مانند رمزنگاری، علوم کامپیوتر و نظریه رأی‌گیری نیز کاربرد دارند. به عنوان مثال، در یک سیستم رأی‌گیری می‌توان پرسید چه ترکیبی از رأی‌ها برای تصویب یک تصمیم کافی است. در یک سیستم امنیتی نیز ممکن است ترکیبی از چند شرط برای دادن دسترسی لازم باشد. از این زاویه، مسئله تابلو یک نمونه فیزیکی و ملموس از ساختارهای منطقی پیچیده است.

با وجود تمام این ارتباط‌ها، ورهوف معتقد است که حتی لازم نیست برای چنین مسئله‌ای حتماً کاربرد فوری پیدا کنیم. بخش بزرگی از ریاضیات و علوم در ابتدا از روی کنجکاوی شکل گرفته است. بعضی از ایده‌هایی که زمانی کاملاً نظری و بی‌کاربرد به نظر می‌رسیدند، سال‌ها یا دهه‌ها بعد به ابزارهایی مهم تبدیل شدند. ورهوف این موضوع را با استعاره‌ای درباره آینده بشر توضیح می‌دهد. از نظر او، ما دقیقاً نمی‌دانیم در آینده با چه مسائلی روبه‌رو خواهیم شد و به چه دانشی نیاز پیدا خواهیم کرد. به همین دلیل، بازی‌کردن با ایده‌ها، طرح سؤال‌های عجیب و بررسی مسائلی که در ظاهر هیچ فایده مستقیمی ندارند، بخشی از فرایند یادگیری است. مسئله آویزان‌کردن تابلو نمونه خوبی از همین نوع کنجکاوی است: یک سؤال ساده درباره چند میخ و یک تکه نخ که در نهایت به نظریه گروه‌ها، گره‌ها، گراف‌ها، هندسه چندبعدی، منطق و الگوریتم‌های کامپیوتری می‌رسد.