آیا ریاضیات اختراع ماست یا کشفی از زبانی که پیش از این در جهان وجود داشته؟

کد خبر: ۹۳۷۲۵۰ تاریخ انتشار: ۵۹ : ۱۴ – ۰۹ شهریور ۱۴۰۵

خواندنی ها >> خواندنی ها

آیا ریاضیات را اختراع کرده‌ایم یا کشف؟ زبانی که ممکن است پیش از ما در جهان وجود داشته باشد.

تصور کنید صبح فردا از خواب بیدار شوید و متوجه شوید که تمام انسان‌ها به طرز عجیبی مفهوم عدد را فراموش کرده‌اند. دیگر کسی نمی‌داند عدد دو به چه معناست، علامت جمع چه کاربردی دارد یا عدد π چه چیزی را نشان می‌دهد. کتاب‌های ریاضی هنوز در کتابخانه‌ها موجودند، اما برای ما تنها مجموعه‌ای از نشانه‌های بی‌معنا به شمار می‌آیند. به گزارش انتخاب، آیا با فراموشی ما، ریاضیات نیز از جهان محو شده است؟ آیا دیگر دو سیاره به‌اضافه‌ دو سیاره، چهار سیاره نمی‌شوند؟ آیا نسبت محیط یک دایره به قطر آن دیگر π نخواهد بود؟ آیا اعداد اول ناپدید می‌شوند؟ این سؤالات در نگاه اول بیشتر شبیه بازی فلسفی به‌نظر می‌رسند، اما اگر کمی جدی‌تر به آن‌ها بپردازیم، به یکی از عمیق‌ترین معماهای علم می‌رسیم: آیا ما ریاضیات را ساخته‌ایم یا فقط در حال کشف چیزی هستیم که همیشه در جهان وجود داشته است؟

این یک اختلاف قدیمی است، اما نه بر سر حساب و کتاب. وقتی از اختراع یا کشف ریاضیات صحبت می‌کنیم، منظورمان این نیست که چه کسی علامت + را ایجاد کرده یا نخستین بار از نماد صفر استفاده کرده است. ما می‌دانیم که بسیاری از نمادها و قراردادهای ریاضی ساخته انسان هستند. ما می‌توانستیم عدد سه را به‌جای ۳ با هر نشانه‌ی دیگری نمایش دهیم. حتی سیستم عددنویسی ده‌دهی ما احتمالاً به این واقعیت مربوط است که انسان‌ها ده انگشت دارند. معما باید در جای دیگری جستجو شود: آیا چیزهایی که این نمادها به آن‌ها اشاره می‌کنند نیز ساخته‌ ما هستند؟ π مثال خوبی است. ما این نماد را انتخاب کرده‌ایم، اما چیزی که π به آن اشاره می‌کند انتخاب ما نیست. با تقسیم کردن محیط هر دایره بر قطر آن، فارغ از اندازه‌ دایره، همیشه به یک نسبت ثابت می‌رسیم. انسان‌ها قرن‌ها و حتی هزاران سال پیش از رایج‌شدن نماد π، این نسبت را می‌شناختند و برای محاسبه‌ دقیق‌تر آن تلاش می‌کردند. امروز می‌دانیم که این عدد گنگ است، یعنی اعشارش بدون الگوی تکراری ادامه می‌یابد. می‌توانیم اسم π و نمادش را تغییر دهیم یا حتی هیچ اسمی برایش نداشته باشیم. اما آیا می‌توانیم نسبت محیط دایره به قطرش را تغییر دهیم؟ و دقیقاً از همین‌جا اختلاف اصلی آغاز می‌شود: آیا ما ریاضیات را ساخته‌ایم یا کشف کرده‌ایم؟

اگر عدد ۷ را لمس نمی‌کنیم، پس کجاست؟ یکی از قدیمی‌ترین پاسخ‌ها به این پرسش این است که ما ریاضیات را نمی‌سازیم، بلکه آن را کشف می‌کنیم. این دیدگاه معمولاً با نام واقع‌گرایی ریاضی شناخته می‌شود و مشهورترین صورت آن، افلاطون‌گرایی ریاضی است. ایده‌ اصلی در نگاه اول عجیب، اما ساده است: اعداد و اشکال ریاضی ساخته‌ ذهن ما نیستند، بلکه مستقل از ما وجود دارند، البته نه به همان شکلی که یک میز، درخت یا سیاره وجود دارد. به عدد هفت فکر کنید. می‌توانید هفت سیب، هفت ستاره یا هفت نفر را ببینید، اما هرگز نمی‌توانید خود هفت را نشان دهید یا روی میز بگذارید. بااین‌حال، گزاره «۷ میان ۶ و ۸ قرار دارد» چیزی شبیه یک قرارداد یا سلیقه‌ انسانی به‌نظر نمی‌رسد. نمی‌توانیم تصمیم بگیریم از فردا ۷ دیگر میان ۶ و ۸ نباشد. در دیدگاه افلاطون‌گرا، اشیای ریاضی مادی نیستند، اما این به معنای خیالی‌بودنشان نیست. آن‌ها واقعیت‌هایی مستقل هستند که ذهن انسان می‌تواند آن‌ها را کشف کند. دید افلاطون‌گرا دقیقاً از همین‌جا نتیجه می‌گیرد که عدد هفت چیزی بیش از یک نشانه یا ساخته‌ ذهن ماست. ما ۷ را به‌عنوان نماد انتخاب کرده‌ایم، اما حقیقت ریاضی‌ را که این نماد به آن اشاره می‌کند، نساخته‌ایم؛ فقط آن را شناخته‌ایم.

البته همه‌ فیلسوفان چنین برداشتی ندارند. در برابر افلاطون‌گرایی، دیدگاه‌هایی مانند نام‌گرایی و داستان‌انگاری ریاضی قرار می‌گیرند. نام‌گرایی می‌کوشد ریاضیات را بدون فرض وجود موجودات انتزاعی توضیح دهد و آن را به اشیای واقعی و روابط میان آن‌ها پیوند بزند. داستان‌انگاری از این هم جلوتر می‌رود و می‌گوید شاید ریاضیات چیزی شبیه یک داستان بسیار منسجم و فوق‌العاده کارآمد باشد؛ زبانی که می‌توان با آن جهان را توصیف کرد، بی‌آنکه لازم باشد اعداد و دیگر اشیای ریاضی واقعاً جایی وجود داشته باشند.

چرا جهان این‌قدر خوب ریاضی بلد است؟ در سال ۱۹۶۰، فیزیکدان آمریکایی «یوجین ویگنر» (Eugene Wigner) پرسشی مطرح کرد که بعدها به یکی از مشهورترین معماهای فلسفه علم تبدیل شد: اثربخشی نامعقول ریاضیات در علوم طبیعی. چیزی که ویگنر را شگفت‌زده می‌کرد، کاربرد ریاضیات در فیزیک نبود، بلکه این بود که چرا ریاضیات تا این حد خوب با جهان واقعی هماهنگ است. ادوارد ویتن (Edward Witten)، فیزیکدان نظری، این هماهنگی میان ریاضیات و جهان فیزیکی را حتی وهم‌آور می‌داند. عجیب اینجاست که برخی از ساختارهای ریاضی، سال‌ها پیش از آن‌که کاربردی در فیزیک پیدا کنند، تنها از روی کنجکاوی بررسی شده‌اند. اما بعدها معلوم شد که دقیقاً همان چیزهایی هستند که برای توصیف طبیعت لازم بوده است. تصور کنید ریاضیدانی فقط برای کنجکاوی روی ساختاری کاملاً انتزاعی کار کند؛ ساختاری که در زمان خودش هیچ کاربردی ندارد. چند دهه یا چند قرن بعد، فیزیکدانی کشف کند که همان ساختار دقیقاً زبانی است که برای توصیف بخشی از طبیعت به آن نیاز دارد. این اتفاق در تاریخ علم بارها تکرار شده است. همین نکته برای «راجر پنروز» (Roger Penrose) اهمیت زیادی دارد. از نظر او، موفقیت عجیب ریاضیات در توصیف طبیعت می‌تواند نشانه‌ای باشد از اینکه حقایق ریاضی فقط ساخته‌ ذهن ما نیستند. گاهی یک نظریه‌ فیزیکی، فراتر از دانسته‌های زمان خودش، پدیده‌هایی را پیش‌بینی می‌کند که سال‌ها بعد واقعاً مشاهده می‌شوند. از این دید، انگار ریاضیات چیزی نیست که ما به زور روی طبیعت سوار کرده باشیم، بلکه خود جهان از ابتدا با نوعی نظم ریاضی ساخته شده است.

پس سؤال دوباره برمی‌گردد: اگر ریاضیات فقط ساخته‌ ذهن ماست، چرا این‌قدر خوب با جهان واقعی هماهنگ است؟ برای دیدن عمق این معما، شاید هیچ مثالی به‌اندازه‌ اعداد موهومی جذاب نباشد. چند قرن پیش، ریاضیدانان اروپایی درگیر حل معادلات درجه‌سوم بودند؛ مسئله‌ای که امروز ممکن است شبیه یک تمرین جبری معمولی به‌نظر برسد، اما آن زمان یکی از دشوارترین مسائل ریاضیات بود. در جریان این تلاش‌ها، پای چیز عجیبی به محاسبات باز شد: جذر عدد منفی. در میان اعداد حقیقی، هیچ عددی نیست که مربعش منفی شود. پس جذر عدد منفی چه معنایی می‌توانست داشته باشد؟ اما بخش عجیب ماجرا چند قرن بعد شروع شد. وقتی فیزیکدانان فیزیک کوانتوم را صورت‌بندی کردند، i دوباره ظاهر شد، البته نه به‌عنوان یک بازی ریاضی، بلکه در قلب نظریه. در معادله‌ شرودینگر، اعداد مختلط نقش اساسی دارند. چیزی که زمانی نشانه‌ یک جواب ناممکن به‌نظر می‌رسید، حالا بخشی از زبان یکی از موفق‌ترین نظریه‌های فیزیک بود و همین ما را دوباره به همان سؤال قدیمی می‌رساند: اگر اعداد موهومی را اختراع کرده‌ایم، چرا طبیعت این‌قدر خوب با آن‌ها کار می‌کند؟ و اگر آن‌ها را کشف کرده‌ایم، پیش از ما کجا بودند؟

مثال بعدی عجیب‌تر است. حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد، اقلیدس در کتاب اصول روشی قدرتمند بنا کرد: چند اصل پایه را بپذیرید و با منطق، قضیه‌های پیچیده‌تر را از آن‌ها نتیجه بگیرید. اما اصل پنجم، یعنی اصل خطوط موازی، همیشه مسئله‌ساز بود. ریاضیدانان قرن‌ها گمان می‌کردند می‌توان آن را از اصول دیگر اثبات کرد. نسل‌های زیادی تلاش کردند، اما هیچ‌کس موفق نشد. تا اینکه در قرن نوزدهم، لوباچفسکی و بویویی سؤال متفاوتی پرسیدند: اگر اصل پنجم را اصلاً نپذیریم چه؟ برخلاف انتظار، هیچ فاجعه‌ای رخ نداد و تناقضی به وجود نیامد، فقط هندسه‌ای تازه متولد شد. در هندسه اقلیدسی، از نقطه‌ای بیرون یک خط فقط یک خط موازی می‌گذرد. اما می‌توان هندسه‌های کاملاً سازگاری ساخت که در آن‌ها چند خط موازی وجود دارند یا اصلاً خط موازی وجود ندارد. انگار پس از دو هزار سال، ناگهان دیواری کنار رفته باشد و جهان‌های دیگری آشکار شوند. اما داستان به اینجا ختم نشد. «برنهارد ریمان» (Bernhard Riemann) هندسه فضاهای خمیده را گسترش داد؛ شاخه‌ای از ریاضیات که در زمان خودش کاملاً انتزاعی به‌نظر می‌رسید. چند دهه بعد، آلبرت اینشتین در نظریه نسبیت عام نشان داد که همین هندسه می‌تواند گرانش را توصیف کند. ناگهان ریاضیاتی که زمانی بیشتر شبیه یک بازی ذهنی بود، به زبان توصیف گرانش و کیهان تبدیل شد و همان پرسش دوباره مطرح شد: آیا ما هندسه‌ ریمانی را اختراع کردیم و طبیعت تصادفاً با آن سازگار از آب درآمد یا ریمان چیزی را کشف کرده بود که جهان میلیاردها سال پیش از ما از آن پیروی می‌کرد؟

تا اینجا شاید کفه‌ کشف ریاضیات سنگین‌تر به‌نظر برسد، اما ماجرا هنوز تمام نشده است. طرف مقابل استدلال مهمی دارد: بخش بزرگی از ریاضیات با انتخاب تعاریف و اصول اولیه آغاز می‌شود. ما مجموعه‌ای از قواعد را تعیین می‌کنیم و سپس در مورد نتایج آن‌ها سؤال می‌پرسیم. اگر این اصول تغییر کنند، ممکن است به جهانی کاملاً متفاوت از ریاضیات برسیم. از این نگاه، ریاضیات کمی شبیه شطرنج است. قواعد شطرنج را ما ساخته‌ایم، اما پس از مشخص شدن قواعد، دیگر نتایج دست ما نیستند. مثلاً در یک موقعیت مشخص، سفید می‌تواند در سه حرکت حریف را مات کند یا نه؛ این جواب را قواعد بازی تعیین می‌کنند، نه نظر ما. این نگاه به دیدگاهی به‌نام صورت‌گرایی نزدیک است. یعنی شاید ما قواعد و چارچوب ریاضی را بسازیم، اما چیزهایی را که از دل آن بیرون می‌آیند، کشف کنیم.

یک دلیل دیگر هم برای احتیاط وجود دارد: مغز انسان عاشق پیدا کردن الگوهاست. وقتی مارپیچ یک صدف، چیدمان دانه‌های آفتابگردان یا شکل شاخه‌های یک گیاه را می‌بینیم، خیلی راحت به این نتیجه می‌رسیم که طبیعت انگار از روی یک فرمول ریاضی ساخته شده است. یکی از معروف‌ترین مثال‌ها دنباله‌ فیبوناچی است: ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱ و … . در این دنباله، هر عدد از جمع دو عدد قبلی به‌دست می‌آید. الگوهای مرتبط با فیبوناچی و نسبت طلایی واقعاً در بعضی فرایندهای رشد گیاهان، مثل آرایش برگ‌ها یا دانه‌ها، دیده می‌شوند. اما باید کمی محتاط بود. خیلی از چیزهایی که به فیبوناچی یا نسبت طلایی ربط داده می‌شوند، اغراق شده هستند. نکته‌ مهم‌تر این است که بعضی الگوهای ریاضی، به‌خاطر محدودیت‌های رشد، فضا و بهینه‌سازی، بارها در طبیعت تکرار می‌شوند. اینجا دوباره همان سؤال مطرح می‌شود: آیا طبیعت واقعاً ساختاری ریاضی دارد یا این ما هستیم که ریاضیات را برای توصیف الگوهایش ساخته‌ایم؟ شاید جهان ذاتاً ریاضی نباشد و ما فقط با یک عینک ریاضی به آن نگاه کنیم. اما اگر چنین است، چرا این عینک تا این حد دقیق کار می‌کند؟

یک آزمایش ذهنی ساده انجام دهید. فرض کنید همین امروز مفهوم عدد اول را تعریف کرده‌ایم: عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک که فقط بر یک و خودش بخش‌پذیر است. تا اینجا، همه‌چیز شبیه یک اختراع انسانی به‌نظر می‌رسد. اما حالا یک سؤال مطرح می‌شود: تعداد اعداد اول محدود است یا بی‌نهایت؟ اینجا دیگر جواب دست ما نیست. نمی‌توانیم تصمیم بگیریم که از جایی به بعد اعداد اول تمام شوند. اقلیدس بیش از دو هزار سال پیش ثابت کرد که تعداد آن‌ها بی‌نهایت است. یعنی وقتی یک مفهوم را تعریف می‌کنیم، بعضی نتایج دیگر به انتخاب ما بستگی ندارند و ناگزیر از دل همان تعریف به‌دست می‌آیند. شاید برای همین است که بسیاری از ریاضیدانان درباره‌ کارشان با زبان کشف حرف می‌زنند.